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📊 統計 · Covariance Calculator

⨯ 共分散計算機

2変数の共分散を計算するツールです。標本共分散 s_xy（÷(n−1)）と母共分散 σ_xy（÷n）、積和・偏差積の内訳、2×2共分散行列、Pearson の r・単回帰との関係、r ⇔ Cov の換算、合計公式（Σxy − n·x̄·ȳ）に対応します。

監修: 田中 結衣

更新日:

計算機

共分散（ペアデータ）

2変数の標本・母共分散、偏差の積和、共分散行列、Pearson r を計算します（最大 10,000 件）。

共分散

s_xy = 5.857143

正の共分散（一方が大きいとき他方も大きい傾向）

共分散
n = 8
x̄ = 4.5, ȳ = 5.5
Σ(x−x̄)(y−ȳ) = 41
標本 s_xy = Σ(x−x̄)(y−ȳ)/(n−1) = 5.857143
母 σ_xy = Σ(x−x̄)(y−ȳ)/n = 5.125
計算公式: (Σxy − n·x̄·ȳ)/(n−1) = 5.857143
Pearson r = s_xy / (s_x s_y) = 0.97619

要約

件数 n
8
標本共分散 s_xy
5.857143
母共分散 σ_xy
5.125
Σ(x−x̄)(y−ȳ)
41
Σxy
239
平均 x̄
4.5
平均 ȳ
5.5
s_x（標本）
2.44949
s_y（標本）
2.44949
Pearson r
0.97619
r²
0.952948
回帰傾き b
0.97619
回帰切片 a
1.107143

共分散行列（標本）

XY
X65.857143
Y5.8571436

対角は分散、非対角は共分散です（母行列も同様に σ_xy = 5.125）。

偏差の積（内訳）

xyx−x̄y−ȳ(x−x̄)(y−ȳ)
12-3.5-3.512.25
23-2.5-2.56.25
35-1.5-0.50.75
44-0.5-1.50.75
560.50.50.25
671.51.52.25
782.52.56.25
893.53.512.25
  • 標本共分散は ÷(n−1)、母共分散は ÷n です。手元のサンプル推定では標本が一般的です。
  • 共分散の単位は X と Y の単位の積なので、尺度が違うと比較しづらいことがあります（そのときは相関係数）。

📐 計算式

標本: s_xy = Σ(x−x̄)(y−ȳ) / (n−1)
母: σ_xy = Σ(x−x̄)(y−ȳ) / n
合計公式: Cov = (Σxy − n·x̄·ȳ) / d
相関: r = Cov / (s_x s_y)
回帰傾き: b = s_xy / s_x²

💡 計算例

例1: 正の共分散

  • pairs: 1 2 2 3 3 5 4 6

結果: s_xy > 0

X が大きいとき Y も大きい傾向

例2: r から共分散

  • r: 0.8
  • sdX: 2
  • sdY: 3

結果: Cov = 4.8

Cov = r · s_x · s_y

例3: 合計公式

  • n: 5
  • meanX: 3
  • meanY: 4
  • sumXY: 70

結果: 標本・母共分散を算出

Σxy − n·x̄·ȳ から計算

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