三角形の面積の求め方

1.三角形の面積とは

三角形の面積は、3本の辺で囲まれた図形の広さです。使える公式は「何が分かっているか」で変わります。底辺と高さが分かるときは基本公式、3辺だけのときはヘロンの公式、2辺とその間の角（夾角）が分かるときは正弦を使う公式が便利です。

どの公式も答えは同じ面積になります。問題の条件に合わせて、計算しやすい式を選ぶのがコツです。

2.基本公式：底辺×高さ

いちばん基本の公式です。底辺に対する高さが分かれば、すぐに面積が求まります。

S = (1/2) × 底辺 × 高さ

• 高さは、選んだ底辺に対する垂線の長さ
• どの辺を底辺にしてもよい（それに応じた高さを使う）
• 直角三角形なら、直角をはさむ2辺を底辺・高さにできる

3.ヘロンの公式：3辺だけから

3辺 a・b・c だけが分かっていて高さが分からないとき、ヘロンの公式が使えます。まず半周の長さ s を求めます。

s = (a + b + c) / 2
S = √[s(s − a)(s − b)(s − c)]

• 三角形の不等式 a+b>c などを満たす必要がある
• ルートの中が負になる場合は、その3辺では三角形が作れない

4.2辺夾角：正弦を使う公式

2辺 a・b と、その間の角 C（夾角）が分かるときは、次の公式が最短です。

S = (1/2) × a × b × sin C

• 角の単位に注意（度数法かラジアンか）
• sin 60° = √3/2、sin 90° = 1 など、よく出る値は覚えておくと速い
• 夾角以外の角しか分からないときは、正弦定理・余弦定理で辺や角を補ってから使う

5.どの公式を選ぶか

次の目安で選ぶと迷いにくいです。

1. 底辺と高さが分かる → S = (1/2)×底辺×高さ
2. 3辺だけ分かる → ヘロンの公式
3. 2辺とその間の角が分かる → S = (1/2)ab sin C
4. 頂点の座標が分かる → 靴紐（ショレース）公式
5. 正三角形で1辺が分かる → S = (√3/4) a²
6. 直角三角形で直角をはさむ2辺が分かる → S = ab/2

6.例題1：底辺と高さ

底辺 6、高さ 4 の三角形の面積を求めます。

S = (1/2) × 6 × 4
  = 12

答え: 12

7.例題2：ヘロンの公式（3-4-5）

3辺が 3、4、5 の三角形の面積を求めます。これは有名な直角三角形でもあります。

s = (3 + 4 + 5) / 2 = 6
S = √[6(6−3)(6−4)(6−5)]
  = √[6·3·2·1]
  = √36
  = 6

検算（直角）: S = (1/2)×3×4 = 6
答え: 6

8.例題3：2辺と夾角

2辺が 5 と 6、夾角が 60° のときの面積を求めます。

S = (1/2) × 5 × 6 × sin 60°
  = 15 × (√3 / 2)
  = (15√3) / 2
  ≈ 12.99

答え: (15√3)/2

9.よくある間違い

面積の計算では、次のミスが起きやすいです。

• 高さではない斜辺を、底辺に対する高さとして使う
• ヘロンで半周 s を忘れる、または s−a などの引き算を間違える
• 夾角ではない角（隣の角）を sin に入れてしまう
• 角度の単位（度／ラジアン）を計算機の設定と合わせない
• 3辺が三角形にならないのに無理にヘロンを適用する

10.計算機で確かめる

条件に合わせて公式を選んだら、三角形の面積計算機で検算しましょう。三平方の定理や三角関数のツールとあわせて使うと、辺や角の補完にも便利です。