解の公式の使い方

1.解の公式とは

解の公式は、二次方程式 ax² + bx + c = 0（ただし a ≠ 0）の解を、係数 a・b・c から直接求める公式です。因数分解が難しいときや、係数が分数・小数のときでも、手順どおりに代入すれば答えにたどり着けます。

高校数学では二次方程式の基本ツールとして学びます。グラフでいえば、放物線 y = ax² + bx + c と x 軸との交点の x 座標が、この公式で求まる解です。

2.二次方程式の標準形

解の公式を使う前に、方程式を次の標準形に直します。

ax² + bx + c = 0
（a ≠ 0）

• 左辺にすべての項を移し、右辺を 0 にする
• x² の係数を a、x の係数を b、定数項を c とおく
• a が 0 だと一次方程式になるため、解の公式は使えない

3.公式の読み方

解の公式は次のとおりです。± があるので、一般には最大で 2 つの解が得られます。

x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)

・−b … まず b の符号を反転する
・√(b² − 4ac) … 判別式の平方根
・± … たし算とひき算の両方を試す
・2a … 分母は必ず「2 × a」

4.判別式 D

ルートの中身 b² − 4ac を判別式といい、ふつう D と書きます。D の符号で、実数解の個数が決まります。

D = b² − 4ac

• D > 0 … 異なる実数解が 2 つ
• D = 0 … 重解（実数解が 1 つ）
• D < 0 … 実数解なし（複素数の範囲では 2 つ）

5.計算の手順

次の順番で進めれば、符号ミスを減らせます。

1. 方程式を ax² + bx + c = 0 の形にする
2. a・b・c の値を書き出す（特に b の符号に注意）
3. 判別式 D = b² − 4ac を計算する
4. D の符号で解の個数を確認する
5. √D を求める（できるときは簡約する）
6. x = (−b ± √D) / (2a) に代入して 2 通り（または 1 通り）計算する
7. 得られた解を元の方程式に代入して検算する

6.例題1：異なる実数解が 2 つ

方程式 x² − 5x + 6 = 0 を解きます。係数は a = 1、b = −5、c = 6 です。

a = 1, b = −5, c = 6
D = (−5)² − 4·1·6 = 25 − 24 = 1
√D = 1

x = (5 ± 1) / 2
  x₁ = (5 + 1) / 2 = 3
  x₂ = (5 − 1) / 2 = 2

答え: x = 2, 3

7.例題2：重解

方程式 x² − 6x + 9 = 0 を解きます。係数は a = 1、b = −6、c = 9 です。

a = 1, b = −6, c = 9
D = (−6)² − 4·1·9 = 36 − 36 = 0
√D = 0

x = (6 ± 0) / 2 = 3

答え: x = 3（重解）

8.よくある間違い

計算ミスの多くは符号と分母に集中します。次をチェックリストにしてください。

• b が負のとき −b は正になる（例: b = −5 なら −b = 5）
• 分母は 2a。a だけや 2 だけでは誤り
• ルートは D 全体にかかる。b だけルートに入れない
• 移項し忘れで c の符号を間違える
• D < 0 なのに無理に実数解を書こうとする

9.計算機で確かめる

手順を覚えたら、係数を入れるだけで解と判別式を表示する計算機で検算しましょう。平方根の簡約や、二次関数（放物線）のグラフ理解にもつながります。