三角比の使い方（ステップ解説）

1.この記事で学ぶ流れ

三角比は、直角三角形の辺の比を角に結びつけて表す道具です。まずは定義を固め、辺や角を求める手順、覚えておく値、公式の相互関係へと進みます。

1. 直角三角形での辺の名前（対辺・隣辺・斜辺）
2. sin・cos・tan の定義
3. 辺を求める／角を求める手順
4. 0°・30°・45°・60°・90° の重要な値
5. 相互関係（三平方・tan=sin/cos など）
6. 余角の公式
7. 高さ・距離の応用例
8. 一般の三角形・三角関数への橋渡し
9. 例題とチェックリストで定着

2.ステップ1：直角三角形の用語

三角比は、まず直角三角形の中で定義します。直角でない角（鋭角）を θ としたとき、辺の呼び方は次のとおりです。

※ どの鋭角に着目するかで、対辺と隣辺は入れ替わる
（斜辺は常に同じ）

• 斜辺（しゃへん）… 直角の対辺。いちばん長い辺
• 対辺（たいへん）… 着目した鋭角 θ の向かい側の辺
• 隣辺（りんぺん）… 着目した鋭角 θ に接している、斜辺以外の辺

1. 直角の位置を確認する
2. 着目する鋭角 θ を決める
3. θ の対辺・隣辺・斜辺を図に書き込む

3.ステップ2：sin・cos・tan の定義

鋭角 θ に対する三角比は、次の3つが基本です。

sin θ = 対辺 / 斜辺
cos θ = 隣辺 / 斜辺
tan θ = 対辺 / 隣辺

• sin（サイン・正弦）… 「対 ÷ 斜」
• cos（コサイン・余弦）… 「隣 ÷ 斜」
• tan（タンジェント・正接）… 「対 ÷ 隣」
• 覚え方の一例: 「正弦は対斜、余弦は隣斜、正接は対隣」

1. 図に対辺・隣辺・斜辺を書く
2. 使いたい比（sin/cos/tan）を選ぶ
3. 定義どおりに分数を書く
4. 約分できるなら約分する

4.例題A：定義から比を求める

直角三角形で、θ の対辺が 3、隣辺が 4、斜辺が 5 のとき、sin θ・cos θ・tan θ を求めます。

sin θ = 3/5
cos θ = 4/5
tan θ = 3/4
答え: 3/5, 4/5, 3/4

1. 対辺=3、隣辺=4、斜辺=5 を確認（三平方 3²+4²=5²）
2. 定義に代入する

5.ステップ3：辺を求める

角と1辺が分かれば、三角比でほかの辺を求められます。式を「求めたい辺 = …」の形に直すのがコツです。

sin θ = 対/斜  →  対 = 斜 · sin θ  /  斜 = 対 / sin θ
cos θ = 隣/斜  →  隣 = 斜 · cos θ  /  斜 = 隣 / cos θ
tan θ = 対/隣  →  対 = 隣 · tan θ  /  隣 = 対 / tan θ

1. 分かっている辺と角を整理する
2. 求めたい辺が対・隣・斜のどれかを決める
3. その関係を含む三角比（sin/cos/tan）を選ぶ
4. 式を変形して代入する
5. 必要なら三平方の定理で検算する

6.例題B：斜辺から対辺

斜辺 10、鋭角 θ = 30° のとき、θ の対辺を求めます。

sin 30° = 1/2
対辺 = 斜辺 · sin 30° = 10 · (1/2) = 5
答え: 5

1. 対辺と斜辺の関係 → sin
2. sin 30° = 1/2 を使う
3. 対辺 = 10 × 1/2

7.ステップ4：角を求める

2辺の比が分かれば、逆三角比（arcsin / arccos / arctan）で角を求めます。学校では「表を使う」「電卓の sin⁻¹」と書かれることも多いです。

sin θ = a  →  θ = arcsin(a)
cos θ = a  →  θ = arccos(a)
tan θ = a  →  θ = arctan(a)

• 直角三角形の鋭角は 0° < θ < 90°
• 計算機の「逆三角関数」「直角三角形」タブが便利

1. 使える2辺から sin/cos/tan のどれかを作る
2. 比の値を計算する（約分）
3. 逆三角比で θ を求める（鋭角の範囲で）
4. もう一方の鋭角は 90° − θ

8.例題C：角を求める

対辺 3、隣辺 3 のとき、鋭角 θ を求めます。

tan θ = 3/3 = 1
θ = arctan(1) = 45°
答え: 45°

1. 対と隣がある → tan
2. tan θ = 1 → 有名な 45°

9.ステップ5：覚えておくべき値

次の角度はテスト・入試で頻出です。表として丸ごと覚えるのが近道です。

      0°    30°      45°      60°      90°
sin   0    1/2     √2/2     √3/2     1
cos   1    √3/2    √2/2     1/2      0
tan   0    1/√3    1        √3      （なし）

• tan 90° は定義できない（cos 90°=0 で割れない）
• sin と cos は「逆順」に並ぶ（余角の関係）
• 30°・60°は 1, √3, 2 の直角三角形、45°は 1, 1, √2

1. 30°-60°-90° の辺比: 1 : √3 : 2（対30° : 対60° : 斜辺）
2. 45°-45°-90° の辺比: 1 : 1 : √2
3. 定義に当てはめて表を自分で作れるようにする

10.例題D：厳密値

cos 60° と tan 30° を求めます。

cos 60° = 1/2
tan 30° = 1/√3 = √3/3（有理化）
答え: 1/2, 1/√3（または √3/3）

11.ステップ6：相互関係（公式）

三角比どうしには、次の基本関係があります。変形や検算に使います。

sin² θ + cos² θ = 1
tan θ = sin θ / cos θ
1 + tan² θ = 1 / cos² θ
（θ が鋭角のとき）

• sin が分かれば cos = √(1−sin²)（鋭角なら正）
• 三平方の定理計算機とも同じ発想

1. 三平方の定理（対²+隣²=斜²）を斜辺で割ると sin²+cos²=1 になる
2. tan は定義どおり対/隣 = (対/斜)/(隣/斜) = sin/cos
3. 分かっている比からほかの比を復元できる

12.例題E：sin からほかを求める

鋭角 θ で sin θ = 3/5 のとき、cos θ と tan θ を求めます。

cos² θ = 1 − (3/5)² = 1 − 9/25 = 16/25
cos θ = 4/5（鋭角なので正）
tan θ = sin/cos = (3/5)/(4/5) = 3/4
答え: cos=4/5, tan=3/4

1. sin²+cos²=1 で cos を出す
2. 鋭角なのでルートは正を取る
3. tan = sin/cos

13.ステップ7：余角の公式

直角三角形の2つの鋭角は互いに余角（和が 90°）です。このため次が成り立ちます。

sin(90° − θ) = cos θ
cos(90° − θ) = sin θ
tan(90° − θ) = 1 / tan θ = cot θ

• 一方の鋭角の対辺は、他方の鋭角の隣辺
• 表で sin 30°=cos 60°、sin 45°=cos 45° などが説明できる

14.ステップ8：直角三角形を解く手順

「辺と角のうち足りないものを全部求める」問題は、次の順が安定します。

1. 図をかき、直角・既知の辺・角に印をつける
2. 三平方で足りるなら先に斜辺や脚を出す
3. 三角比で、既知の角と辺から未知の辺を出す
4. 残りの鋭角は 90° − 既知の鋭角
5. 定義に戻して検算（または計算機の直角三角形タブ）

15.例題F：直角三角形を解く

直角をはさむ2辺が 5 と 12 のとき、斜辺と鋭角を求めます。

斜辺 c = √(5²+12²) = √(25+144) = √169 = 13
対辺5の角を θ とすると
sin θ = 5/13, cos θ = 12/13, tan θ = 5/12
θ = arcsin(5/13) ≈ 22.62°
もう一方 ≈ 67.38°
答え: 斜辺13、鋭角 約22.62° と 約67.38°

1. 三平方で斜辺
2. 三角比で角（または逆に角から比）
3. 余角で残りの角

16.ステップ9：高さ・距離への応用

建物の高さや、測れない距離は、仰角・俯角と三角比で求める定番パターンです。

高さ h = 水平距離 d · tan（仰角）
水平距離 d = 高さ h / tan（仰角）
斜めの距離（視線）= 高さ / sin（仰角） など

• 仰角 … 水平より上を見上げる角
• 俯角 … 水平より下を見下ろす角

1. 直角三角形を図にかく（地面・高さ・視線）
2. 仰角・俯角を θ とする
3. 対辺・隣辺・斜辺のどれが分かっているか確認
4. tan か sin/cos を選んで解く

17.例題G：木の高さ

木から 20 m 離れた地点で、木のてっぺんの仰角が 30° のとき、木の高さを求めます（目の高さを無視）。

tan 30° = 高さ / 20 = 1/√3
高さ = 20 / √3 = 20√3 / 3（m）
答え: 20√3 / 3 （m）

1. 対辺=高さ、隣辺=20 → tan
2. tan 30°=1/√3 を使う
3. 有理化して仕上げる

18.ステップ10：一般の三角形・三角関数へ

三角比は鋭角が中心ですが、高校では一般角の三角関数へ広がります。直角でない三角形では正弦定理・余弦定理を使います。

• 鈍角でも sin・cos・tan を定義できるようになる（単位円）
• 辺と角の関係の一般化 → 正弦定理・余弦定理
• 面積 → (1/2)ab sin C
• 学習ページ「正弦定理」「余弦定理」や、三角関数計算機の一般三角形タブへ進むとよい

19.どの比を使うか（早見）

辺と角の組み合わせから、使う公式を選びます。

1. 対辺と斜辺 → sin
2. 隣辺と斜辺 → cos
3. 対辺と隣辺 → tan
4. 直角をはさむ2辺だけ → まず三平方も候補
5. 角を求めたい → 比を作ってから逆三角比
6. 高さと水平距離 → 多くの場合 tan

20.よくある間違い

次のミスに特に注意してください。

• 対辺と隣辺を取り違える（着目する角を図に書き忘れる）
• 斜辺でない辺を斜辺だと思う
• sin と cos の定義を逆にする
• 電卓がラジアンモードのまま度数を入れる
• tan 90° を無理に計算しようとする
• 余角で sin(90°−θ)=sin θ と書いてしまう
• 比を約分せずに逆三角比で混乱する

21.解くときの手順チェックリスト

問題を見たら、この順で紙に書くと安定します。

1. 直角三角形の図をかく
2. 着目する角 θ を決める
3. 対辺・隣辺・斜辺に印をつける
4. sin / cos / tan のどれか（または三平方）を選ぶ
5. 辺を出すか角を出すかを明確にする
6. 有名角なら厳密値、そうでなければ電卓・逆三角比
7. 三角関数計算機の直角三角形タブで検算する

22.計算機で確かめる

手順を覚えたら、三角関数計算機で sin・cos・tan、直角三角形、厳密値表を試しましょう。三平方の定理や度⇔ラジアン、正弦・余弦定理のツールとあわせると、図形問題全体の検算に便利です。