最小公倍数の求め方

1.最小公倍数とは

最小公倍数（さいしょうこうばいすう、LCM）は、2つ以上の整数の公倍数のうち、正でいちばん小さいものです。例えば 12 と 18 の公倍数は 36, 72, 108… で、その最小が 36 です。

分数の通分、周期のそろえ、予定の重なりなど、「同じ倍数でそろえたい」ときに使います。

2.最大公約数との関係

最大公約数（GCD）は、公約数のうちいちばん大きいものです。LCM と GCD には、次の大切な関係があります。

LCM(a, b) × GCD(a, b) = |a × b|
したがって
LCM(a, b) = |a × b| ÷ GCD(a, b)

• GCD が分かれば、積を割るだけで LCM が求まる
• GCD = 1（互いに素）のとき、LCM は |a × b| そのもの
• 3つ以上でも、2つずつ LCM を取って広げられる

3.素因数分解で求める

それぞれの数を素因数に分解し、各素数について指数の大きい方を集め、掛け合わせると LCM になります。

12 = 2² × 3
18 = 2 × 3²
LCM = 2² × 3² = 4 × 9 = 36

• LCM … 各素数の指数の最大
• GCD … 各素数の指数の最小（共通するものだけ）

4.互除法から求める

大きな数でも、ユークリッドの互除法で GCD を求めてから公式を使う方法が確実です。

1. 大きい方を小さい方で割る
2. 余りで割り直す（余りが 0 になるまで）
3. 最後に割り切った数が GCD
4. LCM = |a × b| ÷ GCD を計算する

5.3つ以上の最小公倍数

3つ以上のときは、2つずつまとめます。

LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)
例: LCM(8, 12, 18)
  LCM(8, 12) = 24
  LCM(24, 18) = 72

6.どんなときに使う？

次のような場面でよく使います。

• 分数の通分（分母の LCD = 分母たちの LCM）
• いくつかの周期が同時にそろうタイミング
• タイルや箱をすき間なく並べる長さ
• 約分のあとに共通の倍数を探す問題

7.例題1：2数の LCM

12 と 18 の最小公倍数を求めます。

GCD(12, 18)
18 = 12×1 + 6
12 = 6×2 + 0 → GCD = 6

LCM = 12×18 ÷ 6 = 36
答え: 36

8.例題2：3数の LCM

8, 12, 18 の最小公倍数を求めます。

LCM(8, 12) = 24
LCM(24, 18) = 72
答え: 72

9.よくある間違い

次のミスに注意してください。

• 積 a×b をそのまま LCM だと思ってしまう（GCD で割るのを忘れる）
• GCD と LCM を取り違える
• 素因数分解で指数の大きい方／小さい方を逆にする
• 0 を含める（0 との LCM は通常 0 として扱うが、文脈に注意）
• 負の数の符号にこだわりすぎる（通常は正の LCM を答える）

10.計算機で確かめる

手順を覚えたら、最小公倍数計算機で複数の整数を入れて結果を確認しましょう。最大公約数計算機や約分・分数ツールとあわせると、通分の理解にもつながります。