最大公約数の求め方

1.最大公約数とは

最大公約数（さいだいこうやくすう、GCD）は、2つ以上の整数をすべて割り切る正の整数のうち、いちばん大きいものです。例えば 24 と 36 の公約数は 1, 2, 3, 4, 6, 12 で、最大は 12 です。

分数の約分、比の簡約、タイルの大きさなど、「共通のくくり」を探すときに使います。

2.互いに素

GCD が 1 のとき、それらの整数は互いに素といいます。例えば 8 と 15 は GCD(8, 15) = 1 なので互いに素です。

• 互いに素なら、共通の素因数がない
• このとき LCM(a, b) = |a × b|
• 約分では、すでに既約（これ以上約せない）状態

3.最小公倍数との関係

LCM と GCD には、次の関係があります。GCD が分かれば LCM もすぐ求まります。

GCD(a, b) × LCM(a, b) = |a × b|
したがって
LCM(a, b) = |a × b| ÷ GCD(a, b)

4.素因数分解で求める

それぞれの数を素因数に分解し、共通する素数だけについて指数の小さい方を集め、掛け合わせると GCD になります。

24 = 2³ × 3
36 = 2² × 3²
GCD = 2² × 3 = 4 × 3 = 12

• GCD … 各素数の指数の最小（共通するものだけ）
• LCM … 各素数の指数の最大

5.ユークリッドの互除法

大きな数でも確実なのが互除法です。割り算の余りを繰り返すだけで GCD が求まります。

例: GCD(48, 18)
48 = 18×2 + 12
18 = 12×1 + 6
12 = 6×2 + 0 → GCD = 6

1. 大きい方を小さい方で割る
2. 余りで割り直す（「割られる数 ← 割る数」「割る数 ← 余り」）
3. 余りが 0 になったら、そのときの割る数が GCD
4. 必要なら LCM = |a × b| ÷ GCD も計算する

6.3つ以上の最大公約数

3つ以上のときは、2つずつまとめます。

GCD(a, b, c) = GCD(GCD(a, b), c)
例: GCD(24, 36, 60)
  GCD(24, 36) = 12
  GCD(12, 60) = 12

7.どんなときに使う？

次のような場面でよく使います。

• 分数の約分（分子・分母を GCD で割る）
• 比や割合をいちばん簡単な整数比にする
• 同じ大きさのタイルで長方形を敷き詰めるときの一辺
• 最小公倍数を公式で求めるときの準備

8.例題1：互除法

48 と 18 の最大公約数を求めます。

48 = 18×2 + 12
18 = 12×1 + 6
12 = 6×2 + 0
答え: GCD = 6

9.例題2：約分への応用

分数 24/36 を約分します。

GCD(24, 36) = 12
24÷12 = 2、36÷12 = 3
答え: 2/3

10.よくある間違い

次のミスに注意してください。

• GCD と LCM を取り違える
• 素因数分解で指数の大きい方／小さい方を逆にする
• 互除法で余りが 0 になる前に途中の余りを答えてしまう
• 公約数の一覧のうち最大でないものを選ぶ
• 負の数の符号にこだわりすぎる（通常は正の GCD を答える）

11.計算機で確かめる

手順を覚えたら、最大公約数計算機で複数の整数を入れて結果を確認しましょう。最小公倍数計算機や約分・分数ツールとあわせると、約分と通分の両方の理解が深まります。