因数分解の仕方

1.因数分解とは

因数分解は、多項式をいくつかの式の積の形に書き直すことです。展開の逆操作だと考えれば分かりやすいです。例えば x² − 5x + 6 は (x − 2)(x − 3) と書けます。

因数分解できると、二次方程式を解いたり、式を簡単にしたり、約分したりと、あとの計算が楽になります。

2.共通因数でくくる

まずすべての項に共通する因数がないかを見ます。係数の最大公約数や、文字 x などが共通なら、先にくくり出します。

2x² + 4x = 2x(x + 2)

• 数字の共通因数（最大公約数）をくくる
• 文字が共通ならそれもくくる
• くくったあとの括弧内を、さらに分解できないか確認する

3.平方の差

A² − B² の形は、すぐに積に直せます。

A² − B² = (A − B)(A + B)
例: x² − 9 = (x − 3)(x + 3)

4.完全平方式

次の形は、そのまま平方の形にまとめられます。

A² + 2AB + B² = (A + B)²
A² − 2AB + B² = (A − B)²
例: x² − 6x + 9 = (x − 3)²

5.たすきがけ（二次式）

ax² + bx + c を (px + q)(rx + s) の形にする方法です。p·r = a、q·s = c、かつ p·s + q·r = b となる整数の組を探します。

x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3)
（たして −5、かけて 6）

1. まず共通因数をくくる
2. a = 1 なら「たして b、かけて c」になる2数を探す
3. a ≠ 1 ならたすきがけで係数の組を探す
4. 見つかったら展開して検算する

6.立方の和・差

三次の公式も覚えておくと便利です。

A³ + B³ = (A + B)(A² − AB + B²)
A³ − B³ = (A − B)(A² + AB + B²)

7.手順チェックリスト

次の順で進めると迷いにくいです。

1. 共通因数（数・文字）をくくる
2. 平方の差・完全平方式・立方の公式に当てはまらないか見る
3. 二次式ならたすきがけ（または解の公式で根を確認）
4. 展開して元の式に戻るか検算する

8.例題1：たすきがけ

x² − 5x + 6 を因数分解します。

たして −5、かけて 6 となる2数 → −2 と −3
(x − 2)(x − 3)

検算: x² − 3x − 2x + 6 = x² − 5x + 6

9.例題2：共通因数と平方の差

2x² − 8 を因数分解します。

2x² − 8 = 2(x² − 4)
  = 2(x − 2)(x + 2)

10.よくある間違い

次のミスに注意してください。

• 共通因数をくくり忘れる
• 符号を間違える（特にたすきがけの＋−）
• 平方の差なのに (A−B)² と書いてしまう
• 展開して検算しない
• 整数では既約なのに無理に分解しようとする

11.計算機で確かめる

パターンを覚えたら、因数分解計算機で係数を入れて結果を確認しましょう。解けないときは解の公式、平方の差専用ツールもあわせて使うと理解が深まります。